Sunday, February 17, 2013
Modelo De Transporte
Posted by Juan Francisco | Sunday, February 17, 2013 | Category:
INVESTIGACION DE OPERACIONES
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El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.
La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.
El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.
Minimiza Z= S i=1 m S j=1 n C i j X i j
El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda.
El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total Si=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total Sj=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:
En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones prácticas.
Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)
MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centro de distribución son:
Denver
|
Miami
| |
Los Ángeles
|
1 000
|
1 690
|
Detroit
|
1 250
|
1 350
|
Nueva Orleans
|
1 275
|
850
|
Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original:
Denver
|
Miami
| |
Los Ángeles
|
80
|
215
|
Detroit
|
100
|
108
|
Nueva Orleans
|
102
|
68
|
Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.
Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32
X 11
|
X 12
|
= 1 000
| ||||
X 21
|
X 22
|
= 1 500
| ||||
X 31
|
X 32
|
= 1 200
| ||||
X 11
|
X 21
|
X 31
|
= 2 300
| |||
X 12
|
X 22
|
X 32
|
= 1 400
| |||
X i j para todas las i y j
| ||||||
Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:
Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)
En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante(=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribución.
Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese destino.
La única información que falta para completar el modelo son los “costos de transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.
Denver
|
Miami
| ||
Los Ángeles
|
80
|
215
|
1 000
|
Detroit
|
100
|
108
|
1 300
|
Nueva Orleáns
|
102
|
68
|
1 200
|
Planta ficticia
|
0
|
0
|
200
|
De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una planta a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.
Denver
|
Miami
|
Destino
Ficticio
| ||
Los Ángeles
|
80
|
215
|
0
|
1 000
|
Detroit
|
100
|
108
|
0
|
1 500
|
Nueva Orleans
|
102
|
68
|
0
|
1 200
|
La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”.
El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.
Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción)
Una compañía construye una planta maestra para la producción de un articulo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a través de:
1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo posterior.
2. Producción en el mes actual.
3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses anteriores.
El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. una unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de almacenamiento razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por unidad por mes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada mes. Los cálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente.
El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo. Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de la manera siguiente:
Sistema de Transporte
|
Sistema de Producción
|
1. Fuente i
|
1. Periodo de producción i
|
2. Destino j
|
2. Periodo de demanda j
|
3. Oferta en la fuente i
|
3. Capacidad de producción del periodo i
|
4. Demanda en el destino j
|
4. Demanda del periodo j
|
5. Costo de transporte de la fuente i al destino j
|
5. Costo de producto e inventario del periodo ial j
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En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:
Periodo
| ||||||
1
|
2
|
3
|
4
|
Capacidad
| ||
Demanda
|
1
|
4
|
4.5
|
5
|
5.5
|
50
|
2
|
6
|
4
|
4.5
|
5
|
180
| |
3
|
8
|
6
|
4
|
4.5
|
280
| |
4
|
10
|
8
|
6
|
4
|
270
| |
Demanda:
|
100
|
200
|
180
|
300
| ||
El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es:
Costo de producción en i, i=j
C i j = Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j i
Costo de producción en i / costo de penalización en i a j i>j
La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo periodo (i = j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce para periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalización adicional.
PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN (Método Hungaro)
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:
Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento mas pequeño en cada renglón de la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz ( la matriz de costos reducidos ) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.
Paso 2.- Dibuje el mínimo numero de líneas (horizontales o verticales ) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.
Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de costos reducidos, que no esta cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2.
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos.
Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.
EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE ASIGNACION
1. Una empresa ha contratado a 4 individuos para 4 trabajos, los 4 individuos y 4 trabajos pueden mostrarse en una tabla que indique las clasificaciones obtenidas, analizando al individuo para cada trabajo. Los renglones se refieren a los hombres, mientras que las columnas se refieren a los trabajos; el problema consiste en maximizar las calificaciones para asignar los 4 trabajos.
Se supone que las calificaciones de un individuo es directamente proporcional a la ganancia que obtendría la compañía si ese individuo se encargara del trabajo.
2. Otro problema que utiliza la misma estructura del modelo de transporte, es la asignación de camiones para reducir al mínimo los costos de un problema de asignación.
3. Una empresa cubre el territorio nacional con dos camiones especialmente equipados para funcionar en condiciones climatológicas específicas. La empresa ha dividido en cinco regiones geográficas. Se compra el camión A y se modifica para que funcione eficientemente en las regiones uno y dos, y para que funcione bastante bien en las regiones tres y cuatro. El mismo camión no funciona bien en la región cinco. Los gastos de gasolina, mantenimiento y otros costos directos de operación, serían mínimos en las regiones uno y dos, promedio en las regiones tres y cuatro, y altos en la región cinco. Se tiene esa misma información con respecto a los demás camiones de la compañía, o sea, los tipos B, C y D.
SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.
En esta sección presentamos los detalles para resolver el modelo de transporte.
TECNICA DE TRANSPORTE.
Los pasos básicos de la técnica de transporte son:
Paso 1: determínese una solución factible.
Paso 2: determínese la variable que entra, que se elige entre las variables no básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3.
Paso 3: determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase la nueva solución básica. Regrese al paso 2.
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